< 1 2 >
Viète's formule voor pi
De waarde π = 3,1415… kun je berekenen met de formule die François Viète ontwikkelde
Uitleg
We beginnen met de optelformule voor de sinus, en krijgen
en krijgen uiteindelijk
Nu delen we door a en krijgen
Tussen accolades staat een limiet met de sinus, die de waarde 1 heeft. Dus we mogen schrijven
We substitueren , en krijgen
Nu gaan we een oplossing voor deze regelmaat uitwerken. Daarbij gebruiken we de cosinusregel en de dubbele hoek 2θ in de goniometrische cirkel. Dan krijg je
Dit resultaat kunnen we goed gebruiken. Want dan is
en
en
enz. Het betekent dat we de formule kunnen schrijven als
waarbij en
Dit levert ons de formule
of anders geschreven
GeschiedenisDe Franse wiskundige François Viète (1540 - 1603) ontwikkelde deze formule door gebruik te maken van een oneindig product voor de sinus cardinalis. |